Materi SBMPTN Matematika Trigonometri

Perbandingan Trigonometri

a. Perbandingan Sisi Suatu Segitiga Siku-siku

• sin α = y/r , Untuk menghafalnya dihafalkan dengan kata "DEMI" → Depan / Miring
• cos α= x/r , Untuk menghafalnya dihafalkan dengan kata "SAMI"→ Samping / Miring
• tan α = y/x , Untuk menghafalnya dihafalkan dengan kata "DESA"→ Depan/ Samping
• cotan α = x/y,
• sec α = r/x,
• cosec α = r/y.


b. Nilai Perbandingan Sudut-sudut Istimewa

x	0	30	37	45	53	60	90
sin	0	1/2	3/5	1/2 √2	4/5	1/2 √3	1
cos	1	1/2 √3	4/5	1/2 √2	3/5	1/2	0
tan	0	1/3 √3	3/4	1	4/3	√3	∞

Keterangan: ∞ = tidak terdefinisi (tak berhingga)

Rumus Sudut yang Berelasi

Pada tiap kuadran, nilai sin, cos, dan tan dapat bernilai positif atau negatif. Tabel di bawah ini menunjukkan tanda di setiap kuadran.

Fungsi	Kuadran I 0°-90°	Kuadran II 90°-180°	Kuadran III 180°-270°	Kuadran IV 270°-360°
sin	+	+	-	-
cos	+	-	-	+
tan	+	-	+	-

Hubungan dari sin, cos, dan tan pada masing-masing kuadran adalah:
a. Pada Kuadran I (0°-90°)
sin (90° – α ) = cos α
cos (90° – α )   = sin α
tan (90° – α )   = cotan α
b. Pada Kuadran II (90°-180°)
sin (180° – α )   = sin α
cos (180° – α )   = -cos α
tan (180° – α )   = -tan α
c. Pada Kuadran III (180°-270°)
sin (180° + α )   = -sin α
cos (180° + α )   = -cos α
tan (180° + α )   = tan α
d. Pada Kuadran IV (270°-360°)
sin (360° – α )   = -sin α
cos (360° – α )   = cos α
tan (360° – α )   = -tan α

Rumus-Rumus Segitiga

Dalam Trigonometri
a. Hubungan Sin, Cos, dan Tan
1. sinx / cosx = tan x
2. sin²x + cos²x = 1

3. tan²x + 1 = sec²x

b. Pada Setiap Segitiga Sembarang Berlaku

1. Aturan sinus,
a/sinA = b/sinB = c/sinC

2. Aturan kosinus,

• a²= b² + c² -2 b c cosA
• b² =a² + c² -2 a c cosB
• c² =a² + b² -2 a b cosC

3. Luas segitiga ABC,
1/2 a b sinC = 1/2 b c sinA = 1/2 a c sinB

Rumus-Rumus Trigonometri

a. Jumlah dan Selisih Dua Sudut

• sin (A + B) = sin A cos B + cosA sinB
• sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
• cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
• tan (A + B) = (tanA + tanB)/ 1 - tanA tanB
• tan (A – B) = (tanA - tanB)/1 + tanA tanB

b. Sudut Rangkap atau Kembar

sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos²A – sin²A
= 2 cos²A – 1
              = 1 – 2 sin²A
tan 2A = (2 tanA)/1- tan²A

c. Perkalian Sinus dan Kosinus

• 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
• 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)
• 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)
• –2 sin A sin B = cos(A + B) – cos(A – B)

d. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

• sin A + sin B = 2 sin 1/2(A+B) cos 1/2(A-B)
• sin A - sin B = 2 cos 1/2(A+B) sin 1/2(A-B)
• cos A + cos B = 2 cos 1/2(A+B) cos 1/2(A-B)
• cos A - cos B = -2 sin 1/2(A+B) sin 1/2(A-B)

Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

a. Persamaan Trigonometri
1. Persamaan dasar
sin x = sin a → x = a + k . 2π
                    → x = 180 - a + k . 2π
cos x = cos a → x = a + k . 2π
                     → x = -a + k . 2π
tan x = tan a → x = a + k . π

2. Persamaan yang diselesaikan dengan faktorisasi
Contoh:
 sin 2x + cos x = 0
 2 sin x cos x + cos x = 0
 cos x (2 sin x + 1) = 0
cos x = 0 atau 2 sin x + 1 = 0
 2 sin x = -1
 sin x = -1/2

3. Persamaan yang dapat diubah ke bentuk persamaan kuadrat
Contoh:

cos²x + 3cos x − 4 = 0

Misalkan, cos x = p maka persamaan di atas menjadi:

p²+ 3p – 4 = 0

Kemudian selesaikan seperti penyelesaian persamaan kuadrat.


b. Pertidaksamaan Trigonometri
Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan:
a. Menggambar grafiknya.
b. Menggunakan garis bilangan seperti pertidaksamaan biasa.
c. Untuk soal-soal pilihan ganda bisa dilakukan cara uji pilihan ganda.

Materi SBMPTN Matematika Logika

Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran

• Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat ditentukan salah atau benar, tetapi tidak kedua-duanya.
  Contoh:
  1. Tambun berada di Kabupaten Bekasi (Benar)
  2. 9 adalah bilangan prima (Salah)
• Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel atau peubah dan belum dapat ditentukan kebenarannya. Jika variabel tersebut diganti dengan konstanta maka akan menjadi pernyataan.
  Contoh:
  1. 3x _ 9 = 12
  2. x + 5 = 19
• Negasi atau ingkaran adalah pernyataan baru dengan nilai kebenaran berlawanan dengan nilai pernyataan semula. Negasi dinotasikan dengan “ ~ ”.
  Contoh:
  a. Pernyataan p : 6 > 2 (B) maka ~ p : 6 ≤ 2 (S)
  b. Hari ini hujan. Negasinya: Hari ini tidak hujan

Operasi Logika Matematika

a. Konjungsi
Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata penghubung ‘‘dan’’. Konjungsi dari pernyataan p dan q dilambangkan p ∧ q . Dua pernyataan p ∧ q bernilai benar hanya jika pernyataan p benar dan q juga benar.
Tabel kebenarannya:

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

b. Disjungsi
Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata penghubung ‘‘atau’’. Disjungsi dari pernyataan p dan q ditulis dengan p ∨ q. Dua pernyataan p ∨ q bernilai salah hanya jika pernyataan p salah dan q juga salah.
Tabel kebenarannya:

p	q	p ∨ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

c. Implikasi
Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata ‘‘jika...maka...’’. Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis p → q. Dua pernyataan p q → bernilai salah hanya jika pernyataan p benar dan q salah.
Tabel kebenarannya:

p	q	p → q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

d. Biimplikasi
Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata penghubung “jika dan hanya jika”. Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p ↔ q. Dua pernyataan p ↔ q bernilai salah hanya jika kedua pernyataan bernilai sama.
Tabel kebenarannya:

p	q	p ↔ q
B	B	S
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Pernyataan Majemuk

a. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen ( ≡ ) jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Contoh:
p → q ≡ ~p ∨ q
Dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran, yaitu:

p	q	~p	~p ∨ q	p → q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

b. Negasi Pernyataan Majemuk

• ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q 
• ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q 
• ~(p→q)  ≡ ~ (~p ∨ q)  ≡ p ∧ ~q
• ∃≡∀⇔ ∀≡∃

Simbol: ∀ dibaca “untuk setiap/semua”
Simbol: ∃ dibaca “sebagian/ada beberapa”

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Jika implikasi p → q maka:

• q → p disebut konvers dari p → q
• ~p → ~q  disebut invers dari p → q
• ~q → ~p  disebut kontraposisi dari p → q

Penarikan Kesimpulan

a. Prinsip Modus Ponens
Bentuk umum:
Premis 1 : p → q = benar
Premis 2 : p         = benar
 –––––––––––––––––––––
Kesimpulan :    q = benar
Contoh:
Premis 1 : Jika saya makan maka saya kenyang.
Premis 2 : Saya makan.
Kesimpulan : Saya kenyang.

b. Prinsip Modus Tollens
Bentuk umum:
Premis 1 : p → q = benar
Premis 2 :       ~q = benar
–––––––––––––––––––––
Kesimpulan : ~p = benar
Contoh:
Premis 1 : Jika saya rajin belajar maka nilai saya bagus.
Premis 2 : Nilai saya buruk.
Kesimpulan : Saya malas belajar.

c. Prinsip Silogisme
Bentuk umum:
Premis 1 : p → q = benar
Premis 2 : q → r = benar
–––––––––––––––––––––
Kesimpulan : p → r = benar
Contoh:
Premis 1 : Jika saya rajin belajar maka nilai saya bagus.
Premis 2 : Jika nilai saya bagus maka saya naik kelas.
Kesimpulan : Jika saya rajin belajar maka saya akan naik kelas.

Materi SBMPTN Matematika Pertidaksamaan

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

1. Pemindahan suku tanda tetap.
Contoh: a + b > c maka a + b - c > 0

2. Perkalian atau pembagian dengan bilangan negatif tanda berubah.
Contoh: (a > c) / −1 maka – a < – c

3. Pemangkatan genap mempunyai syarat kedua ruas sama nilainya.

• Jika kedua ruas positif tanda tetap
• Jika kedua ruas negatif tanda berubah

Contoh:
3 ≥ 1 → jika keduanya dikuadratkan 3²≥ 1 menjadi 9 ≥ 1 (tanda tetap)
–3 ≤ –1 → jika keduanya dikuadratkan akan menjadi 9 ≥ 1 (tanda berubah dari ≤ menjadi ≥).

Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan

a. Pertidaksamaan Linear

 ax – b > 0

 ax > b

 x > b/a

Contoh:
2x - 6 > 0
2x > 6
 x > 6/2
x > 3

b. Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk umum:

ax² + bx + c > 0

• Langkah-langkah umum penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
• Nolkan ruas kanan, kemudian pindahkan suku kanan ke ruas kiri.
• Faktorkan menjadi faktor-faktor linier.
• Buat garis bilangan untuk menentukan penyelesaian.
• Jika sulit difaktorkan maka:
  - Untuk D > 0 gunakan rumus abc
  - Untuk D < 0 maka berlaku:
  a > 0 maka fungsinya adalah definit positif atau lebih dari nol.
  a < 0 maka fungsinya adalah definit negatif atau kurang dari nol.

c. Pertidaksamaan Pecahan

Bentuk umum:
a/b > c/d , b ≠ 0, d ≠ 0

Langkah-langkah umum penyelesaian pertidaksamaan pecahan adalah sebagai berikut:

• Nolkan ruas kanan dengan memindahkan suku kanan ke ruas kiri.
• Faktorkan pembilang dan penyebut menjadi faktor-faktor linier.
• Buatlah garis bilangan untuk menentukan penyelesaian.

d. Pertidaksamaan Bentuk Akar
Bentuk umum:
√f(x) > g

• Maka solusinya adalah menguadratkan kedua sisi {√f(x)}²> g².

e. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Bentuk umum:

• Jika |f(x)| < g maka f(x) < g dan f(x) > –g atau ditulis: –g < f(x) < g
• Jika |f(x)| > g maka f(x) > g dan f(x) < –g
• Jika |f(x)| < |g(x)| maka: (f(x) + g(x)).(f(x) – g(x)) < 0
• Jika f(x)/g(x) < k maka: (f(x) – k.g(x)).(f(x) + k.g (x)) < 0

Materi SBMPTN Matematika Fungsi Kuadrat

Definisi Fungsi Kuadrat

Fungsi f yang didefinisikan sebagai f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 disebut sebagai fungsi kuadrat.

Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

• Bentuk umum fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:
  
  y = f(x) = ax²+ bx +
  Dengan a, b, c ∈ real dan a ≠ 0.

x ∈ R disebut Domain (daerah asal),
y = f (x) ∈ R disebut Range (daerah hasil),
Range ∈ disebut kodomain (daerah kawan) yang berpasangan dengan Domain.

• Diskriminan (D) adalah nilai konstanta yang besarnya:
  D = b2 – 4ac

Sifat-Sifat Kurva Fungsi Kuadrat

• Bentuk kurva fungsi kuadrat adalah parabola sehingga sering disebut fungsi parabola, yaitu: y = f(x) = ax2 + bx + c
• Gambar kurva parabola:

• Suatu kurva disebut definit positif (selalu bernilai positif untuk setiap x), jika a > 0 dan D < 0.
• Suatu kurva disebut definit negatif (selalu bernilai negatif untuk setiap x), jika a < 0 dan D < 0 definit positif a > 0 D < 0 definit negatif a < 0 D < 0 

Jika (X_e,Y_e) adalah koordinat titik ekstrem maka:

• X_e = -b/2a
  Titik Xe disebut sumbu simetri.
• Y_e = -D/4a
  Titik Ye disebut nilai ekstrem.

Persamaan Fungsi Kuadrat

Menentukan fungsi kuadrat dapat menggunakan tiga cara, yaitu:
1. Jika diketahui tiga titik sembarang maka:

y = ax² + bx + c

2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu x di (x1,0), (x2,0), dan sebuah titik sembarang maka:

y = a (x-x₁) (x-x₂)

3. Jika diketahui titik puncak (x_e,y_e) dan sebuah titik sembarang maka:

y = (x-x_e)² + y_e

Hubungan Garis Dan Parabola

• Persamaan garis lurus adalah y = mx + n,sedangkan persamaan fungsi parabola adalah y = f(x) = px2 + qx + r.
• Untuk menentukan hubungan kedua fungsi tersebut maka kedua persamaan disubstitusikan sebagai berikut:

y_parabola= y_garis

px2 + qx + r = mx + n 

px2 + (q – m)x + (r – n) = 0

Dari hasil substitusi tersebut diperoleh:
a=p, b=q-m, dan c=r-n

Materi SBMPTN Matematika Bentuk Akar

Sifat-Sifat Bentuk Akar

a. Bentuk Umum Akar

ⁿ√(a)^m = a^m/n

ⁿ√(a) = a^1/n

√(a)^m = a^m/2

√(a) = a^1/2

b. Penjumlahan dan Pengurangan

1. a√c + b√c  = (a + b) √c

2. a√c - b√c   = (a - b) √c

c. Perkalian dan Pembagian

1. √(a) x √(a) = a

2. ⁿ√(a) x ⁿ√(b) = ⁿ√(a x b)

3. ⁿ√(a)^mx ⁿ√(a)^p = ⁿ√(a)^m+p

4. ⁿ√(^p√(a))  = ^{n x p}√(a)

5. ⁿ√(a) / ⁿ√(b)  = ⁿ √(a / b)

Merasionalkan Penyebut 

1. { a / √(b) }  = { a / √(b) } x { √(b) / √(b) } = a√(b) / b

2. { √(a) / √(b) }  = { √(a) / √(b) } x { √(b) / √(b) } = √(a x b) / b

3. { c / (√(a) +√(b)) } = { c / (√(a) +√(b)) } x {  (√(a) -√(b)) / (√(a) -√(b)) } 

= { c (√(a) -√(b)) / (a-b)}

4. {  (√(a) +√(b)) / (√(a) -√(b)) } = { (√(a) +√(b)) / (√(a) -√(b)) } x {  (√(a) +√(b)) / (√(a) + √(b)) } 

= { (√(a) +√(b))² / (a-b) }

Persamaan Bentuk Akar

√{(a+b) + 2√(ab)}  = √a + √b , syarat: a > b > 0

√{(a+b) - 2√(ab)}  = √a - √b  , syarat: a > b > 0

Materi SBMPTN Matematika Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

ax² + bx + c = 0

ay² + by + c = 0

untuk a, b, c ∈bilangan real

x, y variabel dan a ≠ 0

Rumus diskriminan:
D = b² – 4ac

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika x₁dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx +c = 0 maka akar-akar tersebut dapat diperoleh dengan cara:
a. Faktorisasi
ax² + bx + c = 0

(x ± x₁ ) (x ± x₂ ) = 0

Contoh:

 x² – 5x + 6 = 0

(x – 3)(x – 2) = 0

Maka x = 3 atau x = 2

b. Melengkapi Kuadrat Sempurna
ax² + bx + c = 0 di mana a = 1 maka:

x² + bx + c = 0

x² + bx + (b/2)² = -c + (b/2)²

Contoh:
x²+ 6x + 8 = 0

x²+ 6x + (6/2)² = -8 + (6/2)²

x²+ 6x + 9 = -8 + 9

(x + 3 )² = 1

x + 3 = √1

x + 3 = 1 V x + 3 = -1

x₁= -2 V x₂ = -4

c. Rumus Al-Khawarizmi (abc)

ax² + bx + c = 0

x_1,2 = {(-b ± √b²-4ac) / 2a}

Bentuk Simetri Akar-Akar

Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx +c = 0 maka berlaku:

• x₁+ x₂ = -b/a
• x₁. x₂ = c/a
• x₁ - x₂ = √D/a

Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Berdasarkan nilai diskriminan D = b2 – 4ac, akar-akar terbagi menjadi dua jenis, yaitu:
a. Jika D ≥ 0 maka akar-akarnya real,
• Jika D > 0, akarnya real berlainan
• Jika D = 0, akarnya real kembar

b. Jika D < 0, akar-akarnya tidak real.

Jika akar-akarnya real maka hubungan akar-akar x1 dan x2 mempunyai syarat-syarat, yaitu:
• Akar-akarnya real positif:

D ≥ 0, x₁ + x₂ > 0, x₁ . x₂> 0

• Akar-akarnya real negatif:
D > 0, x₁ + x₂ = 0, x₁ . x₂ < 0
• Akar-akarnya berlawanan:
D > 0, x₁ + x₂ = 0, x₁ . x₂ < 0
• Akar-akarnya saling berkebalikan:
D > 0, x₁ . x₂ = 1

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

(x – a)(x – b) = 0
atau
x² – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
x2 – (JAA)x + (PAA) = 0

a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat
JAA = Jumlah akar-akar (a + b)
PAA = Perkalian akar-akar (a.b)

Jika akar-akarnya adalah kebalikan dari akar-akar
yang diketahui maka:
ax2 + bx + c = 0 menjadi cx2 + bx + a = 0

Materi SBMPTN Matematika Eksponen Dan Logaritma

Pengertian Eksponen

Bilangan bereksponen (berpangkat) dinyatakan dengan:

a disebut bilangan pokok (basis),
n disebut bilangan pangkat.

Sifat-Sifat Eksponen

Untuk a, b, m, dan n anggota bilangan real berlaku sifat:

1. a^m. aⁿ = a^{m + n}

2. a^m : aⁿ

 = a^{m – n}

3. 1 : aⁿ = a^–n

4. (a^m)ⁿ = a^{m x n}

5. a⁰ = 1; a ≠ 0

6. aⁿ . bⁿ = (ab)ⁿ

7. a^m : b^m = (a : b)^m

8. ⁿ√(a^m) = a^{m : n}

Persamaan Eksponen

Bentuk        : af^(x) = 1 ⇒ f(x) = 0

Bentuk        : a^f(x) = a^p ⇒ f(x) = p

Bentuk        : a^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x)

Bentuk        : a^f(x) = b^f(x) ⇒ f(x) = 0

Bentuk        : a^2f(x)+b + a^{f(x)+ c} + d = 0 ⇒ a^2f(x) . a^b+ a ^f(x) . a^c + d = 0

Pertidaksamaan Eksponen

1. Untuk 0 < a < 1 maka berlaku:

a^f(x) ≥ a^g(x)  ⇒   f(x) ≤ g(x)

 a^f(x) ≤ a^g(x)  ⇒   f(x) ≥ g(x)

2. Untuk a > 1 maka berlaku:

a^f(x) ≥ a^g(x)  ⇒   f(x) ≥ g(x)

 a^f(x) ≤ a^g(x)  ⇒   f(x) ≤ g(x)

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Jika aⁿ = b maka ^alogb = n
a disebut basis (bilangan pokok), a > 0 dan a ≠ 1,
b disebut bilangan yang dilogaritmakan, b > 0.

Sifat-Sifat Logaritma

1. log 1 = 0
2. log 10 = 1
3. ^alog b.c = ^alog b + ^alog c

4. ^alog b:c = ^alog b - ^alog c
5. ^alog bⁿ = n . ^alogb

6. ^alog a = 1
7. ^alog b = 1 / ^blog a = log b/log a =^plog b/ ^plog a

8. ^alog b . ^blog c . ^clog d = ^alog d

9. ^amlogbⁿ =^alogb^n:m = n:m ^alogb

10. a^alogb = b^aloga = b

Persamaan Logaritma

1. Bentuk : ^alog f(x) = ^alog p atau ^alog f(x) = c

Solusi  : f(x) = p atau f(x) = a^c

2. Bentuk : ^alog f(x) = ^blog p atau ^g(x)log f(x) = c

Solusi   : f(x) = p = 1 atau f(x) = g(x)^c

3. Bentuk : a (^plog x)² + b ^plog x + c = 0

Solusi   : Gunakan sifat persamaan kuadrat dengan memisalkan ^plog x menjadi x. Jadi persamaan barunya menjadi ax² + bx + c = 0. Setelah itu cari nilai x dengan pemfaktoran seperti biasa. Lalu jika sudah ditemukan nilai x dilanjutkan dengan mengembalikan permisalannya tadi menjadi ^plog x = nilai x.

4.Bentuk : a^f(x) = b^g(x)

Solusi  : Kedua ruas dilogaritmakanmenjadi: f(x) log a = g(x) log b

Pertidaksamaan Logaritma

1.  Untuk bilangan pokok a > 1, berlaku:

Jika ^alog f(x) ≤ ^alog g(x) maka: f(x) ≤ g(x)

Jika ^alog f(x) ≥ ^alog g(x) maka: f(x) ≥ g(x) 

2.  Untuk bilangan pokok 0 < a < 1, berlaku:

Jika ^alog f(x) ≤ ^alog g(x) maka: f(x) ≥ g(x)

Jika ^alog f(x) ≥ ^alog g(x) maka: f(x) ≤ g(x) 

Syarat: f(x) > 0 dan g(x) > 0.