Materi SBMPTN Matematika Trigonometri

Materi SBMPTN Matematika Trigonometri

Perbandingan Trigonometri

a. Perbandingan Sisi Suatu Segitiga Siku-siku
• sin α = y/r , Untuk menghafalnya dihafalkan dengan kata "DEMI" → Depan / Miring
• cos α= x/r , Untuk menghafalnya dihafalkan dengan kata "SAMI"→ Samping / Miring
• tan α = y/x , Untuk menghafalnya dihafalkan dengan kata "DESA"→ Depan/ Samping
• cotan α = x/y,
• sec α = r/x,
• cosec α = r/y.


b. Nilai Perbandingan Sudut-sudut Istimewa

x
0
30
37
45
53
60
90
sin
0
1/2
3/5
1/2 √2
4/5
1/2 √3
1
cos
1
1/2 √3
4/5
1/2 √2
3/5
1/2
0
tan
0
1/3 √3
3/4
1
4/3
√3
∞

Keterangan: ∞ = tidak terdefinisi (tak berhingga)

Rumus Sudut yang Berelasi

Pada tiap kuadran, nilai sin, cos, dan tan dapat bernilai positif atau negatif. Tabel di bawah ini menunjukkan tanda di setiap kuadran.

Fungsi
Kuadran I
0°-90°
Kuadran II
90°-180°
Kuadran III
180°-270°
Kuadran IV
270°-360°
sin
+
+
-
-
cos
+
-
-
+
tan
+
-
+
-


Hubungan dari sin, cos, dan tan pada masing-masing kuadran adalah:
a. Pada Kuadran I (0°-90°)
sin (90° – α ) = cos α
cos (90° – α )   = sin α
tan (90° – α )   = cotan α
b. Pada Kuadran II (90°-180°)
sin (180° – α )   = sin α
cos (180° – α )   = -cos α
tan (180° – α )   = -tan α
c. Pada Kuadran III (180°-270°)
sin (180° + α )   = -sin α
cos (180° + α )   = -cos α
tan (180° + α )   = tan α
d. Pada Kuadran IV (270°-360°)
sin (360° – α )   = -sin α
cos (360° – α )   = cos α
tan (360° – α )   = -tan α


Rumus-Rumus Segitiga

Dalam Trigonometri
a. Hubungan Sin, Cos, dan Tan
1. sinx / cosx = tan x
2. sin2x + cos2x = 1
3. tan2x + 1 = sec2x

b. Pada Setiap Segitiga Sembarang Berlaku

1. Aturan sinus,
a/sinA = b/sinB = c/sinC

2. Aturan kosinus,
  • a2= b2 + c2 -2 b c cosA
  • b2 =a2 + c2 -2 a c cosB
  • c2 =a2 + b2 -2 a b cosC
3. Luas segitiga ABC,
1/2 a b sinC = 1/2 b c sinA = 1/2 a c sinB

Rumus-Rumus Trigonometri

a. Jumlah dan Selisih Dua Sudut

  • sin (A + B) = sin A cos B + cosA sinB
  • sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
  • cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
  • cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
  • tan (A + B) = (tanA + tanB)/ 1 - tanA tanB
  • tan (A – B) = (tanA - tanB)/1 + tanA tanB


b. Sudut Rangkap atau Kembar

sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos2A – sin2A
= 2 cos2A – 1
              = 1 – 2 sin2A
tan 2A = (2 tanA)/1- tan2A

      c. Perkalian Sinus dan Kosinus

      • 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
      • 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)
      • 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)
      • –2 sin A sin B = cos(A + B) – cos(A – B)


      d. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

      • sin A + sin B = 2 sin 1/2(A+B) cos 1/2(A-B)
      • sin A - sin B = 2 cos 1/2(A+B) sin 1/2(A-B)
      • cos A + cos B = 2 cos 1/2(A+B) cos 1/2(A-B)
      • cos A - cos B = -2 sin 1/2(A+B) sin 1/2(A-B)

      Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

      a. Persamaan Trigonometri
      1. Persamaan dasar
      sin x = sin a → x = a + k . 2π
                          → x = 180 - a + k . 2π
      cos x = cos a → x = a + k . 2π
                           → x = -a + k . 2π
      tan x = tan a → x = a + k . π

      2. Persamaan yang diselesaikan dengan faktorisasi
      Contoh:
       sin 2x + cos x = 0
       2 sin x cos x + cos x = 0
       cos x (2 sin x + 1) = 0
      cos x = 0 atau 2 sin x + 1 = 0
       2 sin x = -1
       sin x = -1/2

      3. Persamaan yang dapat diubah ke bentuk persamaan kuadrat
      Contoh:
      cos2x + 3cos x − 4 = 0
      Misalkan, cos x = p maka persamaan di atas menjadi:
      p2+ 3p – 4 = 0
      Kemudian selesaikan seperti penyelesaian persamaan kuadrat.


      b. Pertidaksamaan Trigonometri
      Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan:
      a. Menggambar grafiknya.
      b. Menggunakan garis bilangan seperti pertidaksamaan biasa.
      c. Untuk soal-soal pilihan ganda bisa dilakukan cara uji pilihan ganda.