Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran
- Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat ditentukan salah atau benar, tetapi tidak kedua-duanya.
Contoh:
1. Tambun berada di Kabupaten Bekasi (Benar)
2. 9 adalah bilangan prima (Salah) - Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel atau peubah dan belum dapat ditentukan kebenarannya. Jika variabel tersebut diganti dengan konstanta maka akan menjadi pernyataan.
Contoh:
1. 3x _ 9 = 12
2. x + 5 = 19 - Negasi atau ingkaran adalah pernyataan baru dengan nilai kebenaran berlawanan dengan nilai pernyataan semula. Negasi dinotasikan dengan “ ~ ”.
Contoh:
a. Pernyataan p : 6 > 2 (B) maka ~ p : 6 ≤ 2 (S)
b. Hari ini hujan. Negasinya: Hari ini tidak hujan
Operasi Logika Matematika
a. KonjungsiKonjungsi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata penghubung ‘‘dan’’. Konjungsi dari pernyataan p dan q dilambangkan p ∧ q . Dua pernyataan p ∧ q bernilai benar hanya jika pernyataan p benar dan q juga benar.
Tabel kebenarannya:
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
b. Disjungsi
Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata penghubung ‘‘atau’’. Disjungsi dari pernyataan p dan q ditulis dengan p ∨ q. Dua pernyataan p ∨ q bernilai salah hanya jika pernyataan p salah dan q juga salah.
Tabel kebenarannya:
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
c. Implikasi
Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata ‘‘jika...maka...’’. Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis p → q. Dua pernyataan p q → bernilai salah hanya jika pernyataan p benar dan q salah.
Tabel kebenarannya:
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
d. Biimplikasi
Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata penghubung “jika dan hanya jika”. Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p ↔ q. Dua pernyataan p ↔ q bernilai salah hanya jika kedua pernyataan bernilai sama.
Tabel kebenarannya:
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| B | B | S |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Pernyataan Majemuk
a. Pernyataan Majemuk yang EkuivalenDua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen ( ≡ ) jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Contoh:
p → q ≡ ~p ∨ q
Dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran, yaitu:
| p | q | ~p | ~p ∨ q | p → q |
|---|---|---|---|---|
| B | B | S | B | B |
| B | S | S | S | S |
| S | B | B | B | B |
| S | S | B | B | B |
b. Negasi Pernyataan Majemuk
- ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
- ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
- ~(p→q) ≡ ~ (~p ∨ q) ≡ p ∧ ~q
- ∃≡∀⇔ ∀≡∃
Simbol: ∀ dibaca “untuk setiap/semua”
Simbol: ∃ dibaca “sebagian/ada beberapa”
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Jika implikasi p → q maka:- q → p disebut konvers dari p → q
- ~p → ~q disebut invers dari p → q
- ~q → ~p disebut kontraposisi dari p → q
Penarikan Kesimpulan
a. Prinsip Modus PonensBentuk umum:
Premis 1 : p → q = benar
Premis 2 : p = benar
–––––––––––––––––––––
Kesimpulan : q = benar
Contoh:
Premis 1 : Jika saya makan maka saya kenyang.
Premis 2 : Saya makan.
Kesimpulan : Saya kenyang.
b. Prinsip Modus Tollens
Bentuk umum:
Premis 1 : p → q = benar
Premis 2 : ~q = benar
–––––––––––––––––––––
Kesimpulan : ~p = benar
Contoh:
Premis 1 : Jika saya rajin belajar maka nilai saya bagus.
Premis 2 : Nilai saya buruk.
Kesimpulan : Saya malas belajar.
c. Prinsip Silogisme
Bentuk umum:
Premis 1 : p → q = benar
Premis 2 : q → r = benar
–––––––––––––––––––––
Kesimpulan : p → r = benar
Contoh:
Premis 1 : Jika saya rajin belajar maka nilai saya bagus.
Premis 2 : Jika nilai saya bagus maka saya naik kelas.
Kesimpulan : Jika saya rajin belajar maka saya akan naik kelas.